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方程思想

  1. 数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答，掌握基本的设元方法，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。

一、基本方程

  • 一个未知数：

    • （1）设小不设大(避免出现分数)
    • （2）设中间量(方便列式)
    • （3）求谁设谁(避免出现陷阱)

  • 2、多个未知数：

    • （1）存在多个未知数，设、、x、y、z
    • （2）抓住问题消元求解

二、不定方程

不定方程是数学中一类未知数个数多于方程个数或未知数受到特定限制(如整数、正数等)的方程或方程组,其核心特点在于解的不唯一性。

  • 不定方程：

    1. 形式：ax+by=m
    2. 解不定方程问题常用的解法：综合利用代入排除法、整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、余数特性、赋值法、等多种数学知识来得到答案。

  • 3、不定方程组：

    1. {ax+by+cz=mdx+ey+fz=n

    2. 未知数一般是整数就先消元转化成不定方程，再按不定方程求解。

    3. 未知数如果是小数（时间、单价），可以采用配系数法或赋零法（赋其中一个未知数为零）。

    拓展：为什么可以使用赋零法？ > 因为小数具有连续性。 > 比如方程3x + 5y = 1，当未知数为整数时，我们令y=0，解得x=1/3，即(1/3, 0)是一个解，但这不是整数解。 > 如果未知数是小数，方程有无数组解，随便找一组即可，而0最简单，因此可以用赋零法。 > 建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的，若考场上无法凑出来，则无法求解，因此建议用赋零法解题。

三、随笔练习

例1：（2024黑龙江）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

A.8公斤

B.10公斤

C.12公斤

D.15公斤

解析
  1. 设原来甲、乙两袋杂粮的重量分别为5x公斤和2x公斤。
  2. 如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。可列式：5x−22x+2=43，解得x=2。
  3. 则甲袋杂粮原来重量为5x=5×2=10公斤。
  4. 故正确答案为B。

例2：（2018四川）甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）

A.20

B.25

C.30

D.35

解析
  1. 工作量 = 工作效率 × 工作时间，设甲车间的生产效率为 3x，乙车间的生产效率为 2x。
  2. 由题意可知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。
  3. 即甲车间每天生产 3×20=60 件，乙车间每天生产2×20=40 件。
  4. 故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。
  5. 故本题选 C。

例3：（2019山东选调）某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）

A. 40，80，120

B. 50，100，150

C. 60，120，180

D. 70，140，210

解析
  1. 设原有三种零件的数量分别为 x、2x、3x，再次购买的数量分别为3y、2y、4y，由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。
  2. （2x+2y）-（x+3y）=10....①
  3. （3x+4y）-（x+3y）=170....②
  4. 解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。
  5. 选 C。

例4：（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了（ ）件。

A. 44

B. 45

C. 46

D. 47

解析
  1. 设甲、乙、丙分别派送了x、y、z件包裹，由题意可知，有93件不是甲派送的，即由乙和丙共派送93件；同理有92件不是乙派送的，即由甲和丙共派送92件；有91件不是丙派送的，即由甲和乙共派送91件。则可列方程组为:
  2. {y+z=93x+z=92x+y=91
  3. 解得x=45。故正确答案为B。

例5：（2009浙江）有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是：

A.1辆

B.3辆

C.2辆

D.4辆

解析
  1. 设大客车有x辆，小客车有y辆。
  2. 根据题意可列方程：37x+20y=271。
  3. 这是一个不定方程，20y的尾数一定是0，则37x的尾数必须是1，结合选项，只有x=3才满足条件。
  4. 故正确答案为B。

例6：（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。

A.2

B.3

C.5

D.7

解析
  1. 设需要大文件袋x个，小文件袋y个，由题意可列式为：24x+15y=153，化简可得8x+5y=51。
  2. 这是一个不定方程，看到方程含5，利用倍数特性，5y的尾数0或5，51的尾数为1，推出8x的尾数6或1。
  3. 又根据奇偶性，8x为偶数，因此8x的尾数为6，因此排除BC选项。
  4. 验证：x=7，8x=56，y=-1，排除，选A。

例7：（2019黑龙江）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

解析
  1. 设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为x、y、z，根据题意得：
  2. x+y+x=10
  3. 9x+5y+2z=61
  4. 不定方程组，并且未知数为整数，整理两式，消去z得：7x+3y=41。
  5. 问获得一等奖人数最多，考虑从大到小代入:
  6. 代入D项，若x=6，代入7x+3y=41，y为负且不是整数，排除;
  7. 代入C项，若x=5，代入7x+3y=41，解得y=2，z=3，符合题意。
  8. 故正确答案为C。

例8：（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需_____元。

A. 50

B. 100

C. 150

D. 200

解析
  1. 根据题干条件，假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元，则根据题意可列不定方程组：
  2. 2+3y+72=200…①
  3. 2x+5y+11z=350…②
  4. 方法一：配系数法
    1. ①×2-②可得y+32z=50……③
    2. ①-③×2可得：x+y+z=100元
    3. 故正确答案为B。
  5. 方法二：赋0法
    1. 钱数x、y、z不一定为整数。可以采用赋零法，赋丙的价格为0，即z=0。原方程组转化为
    2. x+3y=200
    3. 2x+5y=350
    4. 解得：x=50，y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元
    5. 故正确答案为B。

例9：（2019浙江15%）某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）

A. x ＜ 0.2y

B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y

C. 0.5y ≤ x ＜ y

D. x ≥ y

解析
  1. 根据第一年的奖金情况可列式 3500-2000=5x，解得 x=300， 即超出5亩后每亩可额外获得 300元奖金。
  2. 第三年农民种植面积扩大15亩，增加5亩部分奖金依然为2000元，超出 15 - 5 = 10亩，额外奖金数 = 10x =3000元，此时第三年果树收入应该由第一年的果树10亩和第二年新增的果树16亩获得，则第三年果树收入 = （10 + 16）× y，所以第三年年收入 = 2000 + 3000 + 26y
  3. 根据题干条件第三年年收入比第一年的16倍还多1000元，得到等式：2000 + 3000 + 26y = 3500 x 16 + 1000，整理可得：5000 + 26y = 57000，解得 y=2000。
  4. 综上可知：x = 300，y=2000；结合选项，只有A符合。