#3-1特殊矩阵的压缩存储

看完栈、队列，看特殊矩阵的压缩存储

【注意】数组中元素的下标是从 0开始的。

3.4_特殊矩阵的压缩存储_哔哩哔哩_bilibili

#1.数组的存储结构

#1.1一维数组

ElemType A[n];

一维数组 A[0...n-1]，格数组元素大小相同，在物理上连续存放。其存储结构关系式为：

其中，LOC是起始地址。数组下标默认从 0 开始。

#1.2.二维数组

ElemType b[2][4]; 		//2行4列的二维数组

二维数组在逻辑上是一个二维列表。在内存上，对于多维数组，有两种映射方法：按行优先存储、按列优先存储。

把非线性的二维数组拉成了一个线性存储的存储结构，那么它的好处就是可以实现像一维数组一样的随机存储，即只需要用LOC加上目标元素的位置。

#1.2.1行优先存储

设二维数组 b[M][N]，若按照行优先存储结构，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素：

如果给出的是下标范围为 [0,n]，那么其实是有 n+1 个元素，即：

#1.2.2列优先存储

按列优先方式存储时，得出存储结构关系式为：

#2.特殊矩阵

压缩存储：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间。其目的是节省存储空间。

特殊矩阵：指具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布有一定规律性的矩阵。常见的特殊矩阵有对称矩阵、上(下)三角矩阵、对角矩阵等。

特殊矩阵的压缩存储方法：找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩存储到一个存储空间中。

#2.1对称矩阵

方阵

若n阶方阵中任意一个元素 $a_{i,j}$ 都有 $a_{i,j}$ = $a_{j,i}$ 则该矩阵为对称矩阵。

因为两个三角对称相等，所以只需要存储一半三角。

例如将下三角放入一维数组：

可以使用行优先的原则，把每行元素存入一维数组中。

1. 那么这个一维数组它的大小就是 1+2+3+...+n 为$\cfrac{(1+n)*n}2$。

那么在一维数组中，就有：0 ~ $\cfrac{(1+n)*n}2-1$个数。

2. 对称矩阵压缩之后，可以实现一个“映射”函数，矩阵下标 → 一维数组下标。

例如按行优先，通过上面的一维数组存储结构：

$a_{i,j} (i≥j) = A[k]$，$a_{i,j}$ 是第 $[1+2+...+(i-1)] + j$ 个元素（前面几行的元素+j 所在那一行前面的几个），那么，前面就是有 $i-1$ 行元素了。

如果是上三角矩阵，但是由于对阵矩阵 $a_{i,j}$ = $a_{j,i}$ 的性质，所有可以转换成下三角矩阵。那么总映射为：

#2.2三角矩阵

分为上三角矩阵、下三角矩阵。

#2.2.1下三角矩阵

和对称矩阵同样，那么在一维数组中，就有：0 ~ $\cfrac{(1+n)*n}2-1$个数，但是多在后面 $\cfrac{(1+n)*n}2$的位置存储C。

$a_{i,j}$ (i≥j) → B[k]

从下标 1 开始：

#2.2.2上三角矩阵

$a_{i,j}$ (i≤j) → B[k]

从下标 1 开始：

例1、若将 n 阶上三角矩阵 A 按列优先级压缩存放在一维数组 B[1...n(n+1)/2+1] 中， 则存放到B[k] 中的非零元素 $a_{i,j}$ (1 ≤ i, j ≤ n) 的下标 i, j 与 k 的对应关系是( C )。 A. i ( i + 1 ) / 2 + j B. i ( i - 1 ) / 2 + j - 1 C. j ( j - 1 ) / 2 + i D. j ( j - 1 ) / 2 + i - 1

解：按列优先存储，故元素 $a_{i,j}$ 前面有 j - 1 列，

共有 1 + 2 + 3 + ... +j -1 = j ( j - 1 ) / 2 个元素，元素 $a_{i,j}$ 在第 j 列上是第 i 个元素，

数组 B 的下标是从 1 开始，因此 k = j ( j - 1 ) / 2 + i。

例2、若将 n 阶下三角矩阵 A 按列优先顺序压缩存放在一维数组 B[1...n(n+1)/2+1] 中，则存放到 B[k] 中的非零元素 $a_{i,j}$ (1 ≤ i, j ≤ n) 的下标 i, j 与 k 的对应关系是( B )。 A. (j - 1) (2n - j + 1) / 2 + i - j B. (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j + 1 C. (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j D. (j - 1) (2n - j + 1) / 2 + i - j + 1

解：按列优先存储，故元素 $a_{i,j}$ 之前有 j - 1 列，

共有 n + (n - 1) + ... + (n - j + 2) = (j-1)(2n - j + 2) / 2 个元素，

元素 $a_{i,j}$ 是第 j 列上第 i - j + 1 个元素，

数组 B 下标从 1 开始，k = (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j + 1。

例3、【2018年408真题】设有一个 12*12 对称矩阵 M 的上三角部分的元素 $m_{i,j}$ (1 ≤ i ≤ j ≤ 10) 按行优先存入 C 语言的一维数组 N 中， 元素 $m_{6,6}$ 在 N 中的下标是( A )。 A. 50 B. 51 C. 55 D. 66

解： 在 C 语言中，数组 N 的下标从 0 开始。

第一个元素 $m_{1,1}$ 对应存入$n_0$，矩阵 M 的第一行有 12 元素，第二行有 11 个，第三行有 10 个，第四行有 9 个，第五行有 8 个，所以 $m_{6,6}$ 是第 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 1 = 51 个元素。

下标应为 50。

4、【2020年408真题】将一个10*10 对称矩阵 M 的上三角部分的元素 $m_{i,j}$ (1 ≤ i ≤ j ≤ 12) 按列优先存入 C 语言的一维数组 N 中， 元素 $m_{7,2}$ 在 N 中的下标是( C )。 A. 15 B. 16 C. 22 D. 23

解： 因为是对称矩阵，要求元素 $m_{7,2}$ 在 N 中的下标，即求元素 $m_{2,7}$ 在 N 中的下标。

在 C 语言中，数组 N 的下标从 0 开始。

上三角矩阵按列优先存储，先存储只有 1 个元素的第一列， 再存储有 2 个元素的第二列，以此类推。在 $m_{2,7}$之前存有 第 1 列: 1 第 2 列: 2 .... 第 6 列: 6 第 7 列: 1

前面共存储有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22 个元素 ( 数组下标范围为0 ~ 21 )，注意数组下标从 0 开始，故 $m_{2,7}$ 在数组N中的下标为 22，即 $m_{7,2}$ 在数组 N 中的下标为 22。

#2.3三对角矩阵

三对角矩阵又称带状矩阵。

在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域的元素都为零。

采用压缩存储，将 3 条对角线上的元素，按行优先方式存放在一维数组 B 中，且 a_{1,1} 存放于 B[0]中，其存储形式如下所示：

1. ❗按照行优先原则， $a_{i,j}$ → B[k]。（1 ≤ i, j ≤ 100, |i - j| ≤ 1）

前 i-1 行共 3(i-1)-1 个元素。 $a_{i,j}$ 是 i 行第 j-i+2 个元素。

所以 $a_{i,j}$ 是第 2i+j-2 个元素，数组下标从 0 开始，所以：

如果是下标从 1 开始，那么：

2. B[k] → $a_{i,j}$ 。已知 B[k] 是第 k+1 个元素，判断 i 和 j 的位置。

前 i-1 行共 3(i-1)-1 个元素。 前 i 行共有 3i-1 个元素。

所以（注意k+1 ≤ 3i-1）：

通过向上取整即可满足“刚好”大于等于：

同理，也可以使得

通过向下取整即可满足“刚好”小于等于：

计算出 i 之后，通过前面计算的 k=2i+j-3 ，得：

【考研】数据结构——特殊矩阵的压缩存储（含真题）-CSDN博客

例1、【2016统考真题】有一个 100 阶的三对角矩阵 M，其元素 $m_{i,j}$（1 ≤ i, j ≤ 100）按行优先依次压缩存入标从 0 开始的一维数组中 N。元素 $m_{30,30}$ 在 N 中的下标是（ B ）

A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 解：三对角矩阵 A 如下所示：

（在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域的元素都为零。）

$$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} &&&0\\ & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ & &\ddots &\ddots &\ddots\\ 0&&& a_{n-1,n-2} & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ &&&& a_{n,n-1} & a_{n,n} \\ \end{bmatrix}$$

采用压缩存储，将 3 条对角线上的元素，按行优先方式存放在一维数组 B 中，且 a_{1,1} 存放于 B[0]中，其存储形式如下所示：

$$a_{1,1}|a_{1,2}|a_{2,1}|a_{2,2}|a_{2,3}|a_{3,1}...a_{n-1,n}|a_{n,n-1}|a_{n,n}$$

可以计算矩阵 A 中 3 条对角线上的元素 $a_{i,j}$（1 ≤ i, j ≤ 100, |i - j| ≤ 1）在一维数组 B 中存放的下标为 k = 2i + j - 3。（下标从 0 开始）

解法一：针对该题，仅需将数字逐一代入公式: k = 2 x 30 + 30 - 3 = 87，结果为87。

解法二：观察上图的三对角矩阵不难发现，第一行有两个元素，剩下的在元素 $m_{30,30}$ 所在行之前的 28 行（注意下标 1 ≤ i，j ≤ 100）中，每行都有 3 个元素，而 $m_{30,30}$ 之前仅有一个元素 $m_{30,30}$ ， 不难发现元素 $m_{30,30}$ 在数组 N 中的下标是 2 + 28x3 + 2 - 1 = 87。

（解法二中，减一是因为一维数组 B 的下标是从 0 开始。）

【注意】

解法一中的一维数组 B[k] 的下标是从 0 开始。若是从 1 开始，则公式应为 k = 2i + j - 2。

反过来，求 i , j ，有表如下：(三对角矩阵 A 从 1 开始)

维数组 B下标	从 0 开始	从 1 开始
i	$\left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor$	$\left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor$
j	k - 2i + 3	k - 2i + 2
k	2i + j - 3	2i + j - 2

例2、将三对角矩阵 A[1..100] 按行优先存入一维数组 B[1..298] 中，A 中元素 A[66][65] 在数组B 中的位置 k 为( B ) A. 198 B. 195 C.197 D.196

解：一维数组 B[k] 的下标是从 1 开始。由公式 k = 2i + j - 2，得 k = 2*66 + 65 - 2 = 195。

【另】反过来推导：已知 k 为 195 , 求 i , j：

$$i = \left\lfloor \frac{195+1}{3}+1 \right\rfloor = \left\lfloor 65.3+1 \right\rfloor=66\\ j=195-2*66 + 2 = 65$$

#2.4稀疏矩阵

稀疏矩阵：矩阵中非零元素的个数 t，相对矩阵元素的个数 s 来说非常少，即 s >> t （s远大于t）的矩阵。

压缩存储策略

1. 顺序存储——三元组。非零元素及其相应的行和列构成个三元组（行标，列标，值），即三元组表的结点存储了行 row、列 col、值 value 三种信息，是主要用来存储稀疏矩阵的一种数据结构。

【2023年408真题】只有这三个无法判断稀疏矩阵的大小，所以加入保存行数、列数，此外还可以保存非零元素个数，以此来比较不同的稀疏矩阵。

2. 链式存储——十字链表。将行单链表和列单链表结合起来存储稀疏矩阵。邻接矩阵空间复杂度达$O(n^2)$，不适合于存储稀疏矩阵。

3. 二叉链表又名左孩子右兄弟表示法，可用于表示树或森林。

缺点：丧失了随机存储的特性。

例1、【2017统考真题】适用于压缩存储稀疏矩阵的两种存储结构是( A )。 A. 三元组表和十字链表 B. 三元组表和邻接矩阵 C. 十字链表和二叉链表 D. 邻接矩阵和十字链表

解：A正确。